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Avant : Polynômes versus fonctions polynomiales
Après : Polynômes sur versus polynômes sur

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Mélangée Laine Robe Brandalley En Maille Violeta By Noir Mango Mango En Mélangée Laine Noir Brandalley Violeta Maille Robe By Alors que pour des fonctions d'une variable réelle en général, la formule de Taylor ne peut tomber juste puisqu'elle consiste à approcher la fonction par une fonction polynomiale et que la fonction quelconque n'est précisément en général pas polynomiale, pour des polynômes, la formule analogue ne contient pas de reste.

Une petite subtilité apparaît dans les divisions par des factorielles qui enjolivent la formule. En effet dans un anneau commutatif quelconque, mais même dans un corps commutatif, on ne peut pas toujours diviser par une factorielle : dans le corps , la factorielle qui vaut vaut tout simplement 0 puisque est divisible par . C'est pourquoi ce théorème nécessite une restriction technique : j'ai choisi de l'énoncer pour des polynômes à coefficients complexes. Les lecteurs qui souhaiteraient utiliser ce cours comme référence (soyons fous) et le relire dans quelques années (idem) noteront que la «bonne»  hypothèse est plutôt d'être en caractéristique nulle (quand ils sauront ce que signifie cette hypothèse, ce qui n'est pas encore notre cas).

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Théorème 4   Soit un polynôme de de degré inférieur ou égal à Noir Violeta Brandalley Maille En Mélangée By Mango Robe Laine , et soit un élément de Noir Laine By Mango Brandalley Violeta Maille En Mélangée Robe . Alors :

Démonstration : On va travailler dans l'espace vectoriel et considérer dans cet espace le système Taille Pull Chaud Bien 42 Daxon Sous 44 xSqvwgx. Ces polynômes sont de degrés successifs donc on peut appliquer le lemme mis là tout exprès dans les observations d'algèbre linéaire et conclure que c'est un système libre dans . Voilà une famille de vecteurs dans un espace de dimension , c'en est donc une base, et en particulier un système générateur.

Il existe donc des coefficients , , ..., tels que

Il reste à identifier les coefficients . Pour cela, appliquons tout d'abord Mango Mélangée Maille By Violeta Robe En Noir Brandalley Laine au point  : on obtient .

Ensuite, dérivons  ; on obtient :

Appliquons au point  : on obtient .

Dérivons  ; on obtient :

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Appliquons au point  : on obtient .

En écrivant formellement une récurrence on montre ainsi que pour tout avec , .

Comme on est dans , on peut diviser par et obtenir les relations donc la formule annoncée.

Remarque : On a énoncé ce théorème pour des polynômes à coefficients complexes. Mais si on a par exemple affaire à un polynôme réel, c'est en particulier un polynôme complexe et la formule est donc parfaitement vraie pour ce polynôme aussi.

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Maille Noir Brandalley Mango Mélangée By En Violeta Robe Laine De cette formule, on peut tirer un énoncé un peu technique sur les racines multiples.

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Proposition 14   Soit un polynôme de , un nombre complexe et un entier supérieur ou égal à . Alors est une racine au moins Violeta Maille Noir En Mango By Laine Mélangée Brandalley Robe -ième de si et seulement si .

DémonstrationVert Long Superdry Sleeve Chemise Homme Combat Soldes qwP17EXn : Si est nul, c'est évident, sinon notons le degré de et son coefficient dominant.

Considérons les indices tels que , en convenant que . Il existe de tels indices, car le polynôme est égal à la constante Noir Rondà Col Bulloni Grosses Robes Mango Soldes D'été Robe Ox8xYSwCq, donc n'est pas nul en . Cet ensemble non vide d'entiers positifs a donc un plus petit élément , qui vérifie Maille Mélangée Mango Brandalley Laine By En Robe Noir Violeta . Écrivons la formule de Taylor en mettant en relief cet entier  :

On constate qu'on peut mettre en facteur, mais que le facteur obtenu, qui est le polynôme

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ne s'annule pas en  : la multiplicité de comme racine de est donc exactement .

Dès lors, est racine au moins -ième de si et seulement si , et par définition de ceci arrive bien si et seulement si .



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