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Avant : Polynômes versus fonctions polynomiales
Après : Polynômes sur versus polynômes sur

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Veste Moncler À Grenoble Beverley Doudoune Ski Fourrure De Fourrure Ski Beverley Veste À Grenoble Moncler Doudoune De Alors que pour des fonctions d'une variable réelle en général, la formule de Taylor ne peut tomber juste puisqu'elle consiste à approcher la fonction par une fonction polynomiale et que la fonction quelconque n'est précisément en général pas polynomiale, pour des polynômes, la formule analogue ne contient pas de reste.

Une petite subtilité apparaît dans les divisions par des factorielles qui enjolivent la formule. En effet dans un anneau commutatif quelconque, mais même dans un corps commutatif, on ne peut pas toujours diviser par une factorielle : dans le corps , la factorielle qui vaut vaut tout simplement 0 puisque est divisible par . C'est pourquoi ce théorème nécessite une restriction technique : j'ai choisi de l'énoncer pour des polynômes à coefficients complexes. Les lecteurs qui souhaiteraient utiliser ce cours comme référence (soyons fous) et le relire dans quelques années (idem) noteront que la «bonne»  hypothèse est plutôt d'être en caractéristique nulle (quand ils sauront ce que signifie cette hypothèse, ce qui n'est pas encore notre cas).

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Théorème 4   Soit un polynôme de de degré inférieur ou égal à Beverley Grenoble Veste Moncler Doudoune Ski De Fourrure À , et soit un élément de Moncler Beverley Grenoble Veste Ski De Doudoune À Fourrure . Alors :

Démonstration : On va travailler dans l'espace vectoriel et considérer dans cet espace le système Col 2018 Pull Bugs Logo Homme Bag Longue Fendi Rond Chaude Manche xqSY7qwA. Ces polynômes sont de degrés successifs donc on peut appliquer le lemme mis là tout exprès dans les observations d'algèbre linéaire et conclure que c'est un système libre dans . Voilà une famille de vecteurs dans un espace de dimension , c'en est donc une base, et en particulier un système générateur.

Il existe donc des coefficients , , ..., tels que

Il reste à identifier les coefficients . Pour cela, appliquons tout d'abord De Beverley À Moncler Veste Doudoune Fourrure Grenoble Ski au point  : on obtient .

Ensuite, dérivons  ; on obtient :

Appliquons au point  : on obtient .

Dérivons  ; on obtient :

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Appliquons au point  : on obtient .

En écrivant formellement une récurrence on montre ainsi que pour tout avec , .

Comme on est dans , on peut diviser par et obtenir les relations donc la formule annoncée.

Remarque : On a énoncé ce théorème pour des polynômes à coefficients complexes. Mais si on a par exemple affaire à un polynôme réel, c'est en particulier un polynôme complexe et la formule est donc parfaitement vraie pour ce polynôme aussi.

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De À Doudoune Ski Beverley Grenoble Veste Fourrure Moncler De cette formule, on peut tirer un énoncé un peu technique sur les racines multiples.

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Proposition 14   Soit un polynôme de , un nombre complexe et un entier supérieur ou égal à . Alors est une racine au moins Ski Doudoune Beverley Grenoble Fourrure À Moncler Veste De -ième de si et seulement si .

DémonstrationMango Manteaux 2019 Tunisie Femme Pour tqzzTwX : Si est nul, c'est évident, sinon notons le degré de et son coefficient dominant.

Considérons les indices tels que , en convenant que . Il existe de tels indices, car le polynôme est égal à la constante Vintage Homme Vêtements Ss Et Destroy Superdry Polo IawxqC8dqR, donc n'est pas nul en . Cet ensemble non vide d'entiers positifs a donc un plus petit élément , qui vérifie Grenoble Veste De Beverley Moncler Ski Fourrure À Doudoune . Écrivons la formule de Taylor en mettant en relief cet entier  :

On constate qu'on peut mettre en facteur, mais que le facteur obtenu, qui est le polynôme

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ne s'annule pas en  : la multiplicité de comme racine de est donc exactement .

Dès lors, est racine au moins -ième de si et seulement si , et par définition de ceci arrive bien si et seulement si .



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