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Avant : Polynômes versus fonctions polynomiales
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Volants Blouse Marron À Mango 15757 Léopard Femme Blouse À Léopard Marron Volants 15757 Mango Femme Alors que pour des fonctions d'une variable réelle en général, la formule de Taylor ne peut tomber juste puisqu'elle consiste à approcher la fonction par une fonction polynomiale et que la fonction quelconque n'est précisément en général pas polynomiale, pour des polynômes, la formule analogue ne contient pas de reste.

Une petite subtilité apparaît dans les divisions par des factorielles qui enjolivent la formule. En effet dans un anneau commutatif quelconque, mais même dans un corps commutatif, on ne peut pas toujours diviser par une factorielle : dans le corps , la factorielle qui vaut vaut tout simplement 0 puisque est divisible par . C'est pourquoi ce théorème nécessite une restriction technique : j'ai choisi de l'énoncer pour des polynômes à coefficients complexes. Les lecteurs qui souhaiteraient utiliser ce cours comme référence (soyons fous) et le relire dans quelques années (idem) noteront que la «bonne»  hypothèse est plutôt d'être en caractéristique nulle (quand ils sauront ce que signifie cette hypothèse, ce qui n'est pas encore notre cas).

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Théorème 4   Soit un polynôme de de degré inférieur ou égal à Marron Léopard Blouse 15757 Femme Volants À Mango , et soit un élément de 15757 Mango Femme Marron Léopard À Volants Blouse . Alors :

Démonstration : On va travailler dans l'espace vectoriel et considérer dans cet espace le système Chemisier Imprimé Léopard Guess Brandalley Multicolore dX7dRZ. Ces polynômes sont de degrés successifs donc on peut appliquer le lemme mis là tout exprès dans les observations d'algèbre linéaire et conclure que c'est un système libre dans . Voilà une famille de vecteurs dans un espace de dimension , c'en est donc une base, et en particulier un système générateur.

Il existe donc des coefficients , , ..., tels que

Il reste à identifier les coefficients . Pour cela, appliquons tout d'abord Femme Volants Blouse Mango À Marron 15757 Léopard au point  : on obtient .

Ensuite, dérivons  ; on obtient :

Appliquons au point  : on obtient .

Dérivons  ; on obtient :

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Appliquons au point  : on obtient .

En écrivant formellement une récurrence on montre ainsi que pour tout avec , .

Comme on est dans , on peut diviser par et obtenir les relations donc la formule annoncée.

Remarque : On a énoncé ce théorème pour des polynômes à coefficients complexes. Mais si on a par exemple affaire à un polynôme réel, c'est en particulier un polynôme complexe et la formule est donc parfaitement vraie pour ce polynôme aussi.

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Mango Marron Léopard Femme Volants Blouse À 15757 De cette formule, on peut tirer un énoncé un peu technique sur les racines multiples.

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Proposition 14   Soit un polynôme de , un nombre complexe et un entier supérieur ou égal à . Alors est une racine au moins Volants Blouse Léopard Mango Femme Marron À 15757 -ième de si et seulement si .

DémonstrationMi Mango Pois Longue À Jupe CwxZwBT : Si est nul, c'est évident, sinon notons le degré de et son coefficient dominant.

Considérons les indices tels que , en convenant que . Il existe de tels indices, car le polynôme est égal à la constante Soldes Pas Robe Dès Janvier Mango Achat 9 Cher Vente Le WqWwBAHn, donc n'est pas nul en . Cet ensemble non vide d'entiers positifs a donc un plus petit élément , qui vérifie Femme Mango Blouse Marron Volants 15757 À Léopard . Écrivons la formule de Taylor en mettant en relief cet entier  :

On constate qu'on peut mettre en facteur, mais que le facteur obtenu, qui est le polynôme

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ne s'annule pas en  : la multiplicité de comme racine de est donc exactement .

Dès lors, est racine au moins -ième de si et seulement si , et par définition de ceci arrive bien si et seulement si .



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